MAT_P2 — Științe ale naturii — a doua probă E

Programa de examen pentru disciplina Matematică la examenul național de bacalaureat 2030.

Cod programă	MAT_P2
Proba	A doua probă E (scrisă)
Raportare curriculară	TC+CS
Filieră	Teoretică
Profil	Real
Specializare / domeniu	Științe ale naturii
Sursă	Monitorul Oficial, Partea I, nr. 737 bis / 2 sept. 2026, Anexa nr. 4.2

← Înapoi la programe școlare

Preambul

• A doua probă E (probă scrisă, specifică profilului/specializării)
• Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile Programei școlare pentru disciplina Matematică, clasele a IX-a - a XII-a, trunchi comun și curriculum de specialitate (TC+CS), pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii, aprobată prin OMEC nr. 6930/2025, Anexa nr. 28. Prezenta programă precizează competențele generale și competențele specifice care vor fi evaluate, domeniile de conținut și conținuturile vizate de evaluarea specifică acestui examen.

Programa de examen pentru disciplina Matematică - MAT_P2 (TC+CS), fundamentează elaborarea subiectelor și a baremelor de evaluare și de notare pentru a doua probă E, din cadrul examenului național de bacalaureat 2030. Evaluarea vizează competențele specifice care contribuie la formarea/dezvoltarea competențelor generale pe parcursul ciclului liceal, clasele a IX-a - a XII-a, prin raportare la profilul de formare al absolventului.

Obiectivul evaluării prin proba de examen, la disciplina Matematică, programa MAT_P2 (TC+CS), este de a constata măsura în care candidatul identifică și prelucrează date matematice, utilizează și exprimă în limbaj specific matematicii concepte și algoritmi, analizează și modelează caracteristici ale unei situații date, de complexitate corespunzătoare raportării disciplinei în cadrul segmentelor curriculare trunchi comun și curriculum de specialitate (TC+CS) și tipului de probă.

Competențele generale evaluate (CG.1–CG.6) sunt comune tuturor programelor de examen la Matematică.

Competențe generale și competențe specifice evaluate

CG.1 – Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.1.1.	Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în diverse contexte
IX.CS.1.2.	Identificarea propozițiilor elementare din care este alcătuit un enunț matematic
IX.CS.1.3.	Identificarea elementelor caracteristice ale unui polinom
IX.CS.1.4.	Identificarea elementelor specifice progresiilor în contexte variate
IX.CS.1.5.	Identificarea datelor și a relațiilor care apar în configurații geometrice date
IX.CS.1.6.	Identificarea unor proprietăți ale funcțiilor, pe baza reprezentării grafice a acestora
IX.CS.1.7.	Identificarea punctelor asociate unor măsuri în radiani pe cercul trigonometric și pe graficele funcțiilor trigonometrice
X.CS.1.1.	Identificarea unor date relevante pentru probleme de numărare, în diverse contexte, recunoscând tipul de structură combinatorică necesară pentru rezolvare
X.CS.1.2.	Recunoașterea unor date de tip statistic sau probabilistic în situații concrete
X.CS.1.3.	Identificarea unor funcții și a unor proprietăți ale funcțiilor, în diferite reprezentări și contexte
X.CS.1.4.	Identificarea unor caracteristici ale numerelor complexe în diverse contexte
XI.CS.1.1.	Identificarea elementelor, proprietăților și regulilor de calcul cu matrice și determinanți în
XI.CS.1.2.	Identificarea comportamentului unei funcții într-un interval dat
XI.CS.1.3.	Identificarea relațiilor dintre derivată și interpretarea ei geometrică, în contexte matematice
XI.CS.1.4.	Identificarea proprietăților funcțiilor (monotonie, convexitate/concavitate) pe baza graficului sau a semnului derivatelor de ordin I sau al doilea
XII.CS.1.1.	Identificarea unor elemente caracteristice ale unui sistem de ecuații liniare
XII.CS.1.2.	Identificarea unor elemente fundamentale ale geometriei în spațiu în raport cu reperul cartezian
XII.CS.1.3.	Identificarea noțiunii de primitivă prin raportare la noțiunea de derivată
XII.CS.1.4.	Identificarea conceptului de integrală definită ca arie a unei suprafețe plane

CG.2 – Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse

informaționale

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.2.1.	Prelucrarea unor date numerice din contexte matematice și/sau cotidiene
IX.CS.2.2.	Aplicarea relațiilor logice pentru prelucrarea datelor matematice folosind propoziții și
IX.CS.2.3.	Aplicarea unor reguli de calcul cu polinoame
IX.CS.2.4.	Efectuarea de calcule pentru determinarea elementelor progresiilor aritmetice sau geometrice, utilizând formule specifice
IX.CS.2.5.	Utilizarea datelor matematice de tip cantitativ, calitativ și structural dintr-o configurație geometrică
IX.CS.2.6.	Descrierea unor proprietăți ale unei funcții, utilizând reprezentarea grafică a acesteia
IX.CS.2.7.	Stabilirea unor caracteristici calitative/cantitative folosind funcții trigonometrice
X.CS.2.3.	Prelucrarea unor date matematice din diverse surse informaționale (texte, tabele, diagrame, grafice), referitoare la probleme/contexte de numărare Prelucrarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul aplicațiilor digitale, a graficelor și diagramelor Extragerea de date matematice de tip cantitativ, calitativ și structural din diverse reprezentări ale unei funcții generate de o situație practică dată
X.CS.2.4.	Efectuarea operațiilor cu numere complexe, în contexte variate
XI.CS.2.1.	Prelucrarea datelor numerice organizate sub formă de matrice sau determinant în vederea obținerii de informații sintetice
XI.CS.2.2.	Prelucrarea unor date extrase din diferite reprezentări ale funcțiilor, în vederea estimării existenței și valorilor unor limite
XI.CS.2.3.	Prelucrarea datelor referitoare la funcții în vederea calculării derivatei unei funcții sau a
XI.CS.2.4.	Prelucrarea informațiilor obținute prin derivare pentru a identifica proprietăți ale funcțiilor
XII.CS.2.1.	Prelucrarea elementelor asociate unui sistem de ecuații liniare în vederea stabilirii tipului de compatibilitate și a rezolvării sistemului de ecuații
XII.CS.2.2.	Utilizarea unor formule specifice pentru analizarea unor cerințe cu caracter geometric
XII.CS.2.3.	Prelucrarea expresiilor algebrice ale unor funcții date cu scopul determinării primitivelor
XII.CS.2.4.	Determinarea valorii integralei definite prin calcule directe

CG.3 – Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.3.1.	Utilizarea algoritmilor specifici și a proprietăților operațiilor cu numere reale extrase din
IX.CS.3.2.	Utilizarea logicii matematice în formularea de propoziții și verificarea raționamentelor
IX.CS.3.3.	Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea calculelor cu polinoame
IX.CS.3.4.	Utilizarea formulelor matematice pentru determinarea unor termeni și a sumelor unor termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sau geometrice
IX.CS.3.5.	Aplicarea formulelor și a algoritmilor de bază ai geometriei analitice pentru a rezolva probleme teoretice și practice
IX.CS.3.6.	Utilizarea aplicațiilor digitale pentru reprezentarea grafică a unor funcții în vederea extragerii unor informații referitoare la valori relevante ale acestora
IX.CS.3.7.	Aplicarea formulelor trigonometrice de bază în rezolvarea problemelor
X.CS.3.1.	Utilizarea formulelor combinatoriale și a metodelor de numărare pentru rezolvarea unor probleme în contexte practice
X.CS.3.2.	Utilizarea unor algoritmi statistic sau ai probabilităților pentru determinarea mărimilor caracteristice ale unor seturi de date
X.CS.3.3.	Aplicarea conceptelor și algoritmilor specifici funcțiilor, în scopul rezolvării unor ecuații de gradul al doilea, cu radicali, exponențiale, logaritmice și trigonometrice
X.CS.3.4.	Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în diverse contexte
XI.CS.3.1.	Utilizarea algoritmilor de calcul cu matrice sau determinanți în contexte matematice date
XI.CS.3.2.	Utilizarea conceptelor de limită și continuitate în contextul studiului variației unei funcții
XI.CS.3.3.	Utilizarea algoritmilor pentru calcularea și interpretarea derivatelor în vederea descrierii variației/proprietăților unei funcții
XI.CS.3.4.	Utilizarea derivatei pentru determinarea proprietăților funcțiilor și rezolvarea problemelor de
XII.CS.3.1.	Utilizarea unor concepte și algoritmi specifici pentru determinarea compatibilității și rezolvarea unor sisteme de ecuații liniare prin metode algoritmice
XII.CS.3.2.	Aplicarea unor algoritmi specifici geometriei analitice pentru determinarea unor distanțe și a unor relații între obiecte geometrice
XII.CS.3.3.	Utilizarea unor algoritmi cu caracter algebric în determinarea mulțimii primitivelor unei funcții sau a soluției unor ecuații diferențiale
XII.CS.3.4.	Utilizarea unor strategii algebrice de tip algoritmic pentru calculul integralei definite

CG.4 – Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare

pentru o situație dată

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.4.1.	Folosirea limbajului și a simbolurilor matematice pentru formularea relațiilor și a pașilor de rezolvare în contextul numerelor reale
IX.CS.4.2.	Exprimarea raționamentelor matematice (propoziții/predicate, operații, cuantificatori) în
IX.CS.4.3.	Utilizarea în redactarea demersului de rezolvare a problemelor în care intervin acestea
IX.CS.4.4.	Transpunerea în limbaj specific a unor situații cotidiene care conduc la progresii aritmetice
IX.CS.4.5.	Utilizarea limbajului specific în redactarea demersului de rezolvare a problemelor de geometrie analitică
IX.CS.4.6.	Transpunerea în limbaj matematic a informațiilor obținute din compararea unor grafice de funcții
IX.CS.4.7.	Exprimarea în limbajul trigonometriei a datelor și relațiilor din configurații geometrice, în
X.CS.4.3.	Exprimarea caracteristicilor unor probleme de numărare în vederea simplificării modului de Transpunerea în limbajul specific statisticii matematice și probabilităților a unei situații Exprimarea/redactarea de concluzii și justificări matematice, utilizând limbajul specific funcțiilor (simboluri, formule, expresii, reprezentări)
X.CS.4.4.	Exprimarea în limbaj specific numerelor complexe a redactării raționamentelor matematice
XI.CS.4.1.	Exprimarea relațiilor matematice specifice calculului matriceal în limbaj adecvat, în contexte
XI.CS.4.2.	Exprimarea condițiilor de existență a limitei și de continuitate ale unei funcții prin formule, grafice și argumente logice
XI.CS.4.3.	Exprimarea relațiilor dintre derivata funcției și tangenta sau normala la grafic, folosind limbajul și notațiile matematice specifice
XI.CS.4.4.	Exprimarea concluziilor privind proprietățile funcțiilor pe baza derivatei, utilizând argumente și notații matematice
XII.CS.4.1.	Exprimarea în limbaj specific a concluziilor referitoare la compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare
XII.CS.4.2.	Determinarea unor rezultate cantitative sau calitative, referitoare la configurații geometrice în spațiu, prin îmbinarea raționamentelor geometrice și algebrice
XII.CS.4.3.	Utilizarea unor raționamente algebrice complexe în determinarea unor primitive sau a soluțiilor unor ecuații diferențiale de grad cel mult doi
XII.CS.4.4.	Utilizarea unor strategii algebrice combinate în estimarea și evaluarea integralelor definite

CG.5 – Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.5.1.	Interpretarea proprietăților numerelor reale în situații date
IX.CS.5.2.	Analizarea relațiilor logice dintre componentele unui enunț matematic asociat unei situații date
IX.CS.5.3.	Analizarea metodelor de rezolvare a unor probleme în studiul polinoamelor
IX.CS.5.4.	Analizarea unei situații cotidiene descrise printr-o progresie aritmetică sau geometrică
IX.CS.5.5.	Analizarea pozițiilor relative a dreptelor și/sau cercurilor, interpretând semnificația acestora în
IX.CS.5.6.	Analizarea proprietăților unei funcții prin corelarea informațiilor desprinse din diferite reprezentări/descrieri ale acesteia
IX.CS.5.7.	Analizarea modului optim de determinare a ariilor unor figuri geometrice folosind formule
X.CS.5.1.	Analizarea datelor unei situații practice pentru stabilirea modului adecvat de numărare
X.CS.5.2.	Analizarea unor situații practice prin aplicarea noțiunilor de statistică și probabilități
X.CS.5.3.	Analizarea proprietăților funcțiilor studiate, identificate în reprezentări grafice, pentru a interpreta situații reale și a formula concluzii argumentate în contexte intra și interdisciplinare
X.CS.5.4.	Investigarea unor probleme de matematică prin intermediul proprietăților numerelor complexe
XI.CS.5.1.	Analizarea proprietăților operațiilor cu matrice și a determinanților în vederea interpretării rezultatelor obținute într-un context numeric sau geometric
XI.CS.5.2.	Analizarea unor proprietăți locale sau globale ale unei funcții (limite în diferite puncte,
XI.CS.5.3.	Analizarea relațiilor dintre derivata unei funcții și proprietățile tangentei și normalei la graficul
XI.CS.5.4.	Analizarea situațiilor de optimizare și a caracteristicilor funcțiilor pe baza derivatei
XII.CS.5.1.	Analizarea condițiilor de compatibilitate a unor sisteme de ecuații liniare
XII.CS.5.2.	Interpretarea geometrică a unor situații algebrice
XII.CS.5.3.	Analizarea unor primitive în contexte variate
XII.CS.5.4.	Analizarea metodelor de integrare prin determinarea strategiei adecvate fiecărei funcții

CG.6 – Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.6.1.	Modelarea unor situații concrete utilizând proprietăți ale numerelor reale
IX.CS.6.2.	Modelarea unei situații date utilizând elemente de logică matematică
IX.CS.6.3.	Modelarea matematică a unor probleme practice utilizând polinoame, în context intra și interdisciplinar (fizică, chimie, biologie)
IX.CS.6.4.	Modelarea matematică a unor situații cotidiene utilizând progresii
IX.CS.6.5.	Modelarea matematică a unor experimente din domeniul științelor naturii (biologie, fizică, chimie), utilizând elemente de geometrie analitică
IX.CS.6.6.	Modelarea prin intermediul funcțiilor a unor fenomene/contexte din viața cotidiană
IX.CS.6.7.	Modelarea matematică a unor situații practice care implică concepte trigonometrice
X.CS.6.1.	Modelarea unei situații-problemă din viața cotidiană, în limbajul specific combinatoricii
X.CS.6.2.	Corelarea datelor statistice și probabilistice în scopul predicției comportamentului unui sistem, prin analogie cu comportarea în situații studiate
X.CS.6.3.	Modelarea unei situații cotidiene, cu ajutorul funcțiilor studiate, pentru a explica, prezice sau optimiza rezultate în contexte precum economie, biologie, fizică etc.
X.CS.6.4.	Analiza unor probleme din diferite domenii cu ajutorul numerelor complexe
XI.CS.6.1.	Modelarea unor situații practice care implică organizarea și prelucrarea datelor numerice folosind conceptele și operațiile cu matrice și/sau determinanți
XI.CS.6.2.	Modelarea variației unei mărimi printr-o funcție, utilizând conceptele de limită, continuitate sau analiză grafică
XI.CS.6.3.	Modelarea comportamentului unei funcții și a proprietăților graficului său prin utilizarea derivatei și a relațiilor tangentei și normalei
XI.CS.6.4.	Modelarea matematică a fenomenelor și proceselor reale prin aplicarea derivatelor și analizarea extremelor pentru optimizarea rezultatelor
XII.CS.6.1.	Modelarea în limbajul sistemelor de ecuații liniare a unor contexte din geometrie sau din alte
XII.CS.6.2.	Modelarea matematică a unor situații practice în limbajul specific geometriei într-un reper
XII.CS.6.3.	Studiul integralei nedefinite și a ecuațiilor diferențiale în contexte practice
XII.CS.6.4.	Modelarea unor situații practice prin intermediul integralei definite

Domenii de conținut și conținuturi

Conținuturile evaluate sunt organizate pe domenii de conținut și sunt prezentate cumulativ pentru ciclul liceal, în acord cu programa școlară în vigoare.

Algebră

IX.1. Mulțimea numerelor reale

• Structura algebrică: operații algebrice cu numere reale, proprietăți; formule de calcul prescurtat: a3 r 3a 2b + 3ab 2 r b3, a 3 + b3 a + b a 2 - ab + b 2, a 3 - b3 a - b a 2 + ab + b 2; arb raționalizarea numitorilor de forma a r b, b! 0; modulul unui număr real Structura de ordine: compararea și ordonarea numerelor reale; aproximări prin lipsă sau prin adaos; partea întreagă și partea fracționară a unui număr real

IX.2. Elemente de logică matematică

• Propoziții și predicate; operații: negația, conjuncția, disjuncția, implicația, echivalența; cuantificatori; reguli de negare

Metode de raționament: metoda reducerii la absurd; metoda inducției matematice

Notă: Calculul propozițional se va ilustra cu exemple concrete simple: și = intersecție/sistem de relații, sau = reuniune/ansamblu de cazuri, non (A și B) = non A sau non B, non (A sau B) = non A și non B, există = cel puțin un element convine etc.

IX.3. Polinoame cu coeficienți reali

• Forma algebrică a unui polinom, operații cu polinoame: adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar Teorema împărțirii cu rest; algoritmul de împărțire a polinoamelor; împărțirea cu

X - a, schema lui Horner; divizibilitatea polinoamelor: definiție

• Rădăcini reale ale polinoamelor; teorema lui Bézout

IX.4. Progresii aritmetice și progresii geometrice

• Dobânda simplă. Progresii aritmetice; determinarea termenului general al unei progresii aritmetice; suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Dobânda compusă. Progresii geometrice; determinarea termenului general al unei

• progresii geometrice; suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice

Notă: Progresiile vor fi abordate și în contexte practice: prețuri, dobânzi, dinamica populației, modelarea unor fenomene din biologie, chimie etc.

X.1. Metode de numărare

• Reguli de numărare: regula sumei; principiul includerii și al excluderii; diagrame arborescente; regula produsului Permutări, aranjamente, combinări, triunghiul lui Pascal - formula de recurență a combinărilor, combinări complementare, dezvoltarea binomului lui Newton; aplicații în probleme de numărare

Notă: Abordarea conținuturilor se va face prin contexte practice.

IX.6. Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice

• Funcția afină Funcția de gradul al doilea Funcții obținute prin operații de înmulțire și/sau de împărțire, compunere cu funcții afine și funcții de gradul al doilea Funcția putere cu exponent întreg Funcția radical de ordin 2 și ordin 3 Funcția exponențială (numărul irațional e) Funcția logaritmică (logaritmi, logaritm natural, logaritm zecimal)

Notă: Pentru fiecare funcție se vor evidenția grafic: intersecțiile cu axele de coordonate, interpretarea geometrică a proprietăților (monotonie, puncte de extrem, mulțimea valorilor funcției, soluțiile ecuațiilor $f(x)=m$ și $f(x)=g(x)$); comportament asimptotic, creștere exponențială, scări logaritmice; exemplificări în contexte practice. Observarea proprietăților funcțiilor se va face pe baza reprezentărilor grafice obținute cu ajutorul unor instrumente digitale (Geogebra, Desmos etc.) sau furnizate în format tipărit.

X.3. Funcții

• Proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; simetria graficului față de drepte de forma $x=m$, $m\in\mathbb{R}$; simetria graficului față de un punct; periodicitate f x1 - f x2, x1, x2 ∈, x1 z x2; Funcția afină: monotonia, semnul raportului x1 - x2 semnul funcției f x1 - f x2, Funcția de gradul al doilea: monotonie, rata creșterii/descreșterii x1 - x2 x1, x2 ∈, x1 z x2, punct de extrem (vârful parabolei); poziția relativă a unei parabole față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax 2 + bx + c d 0 t,,!, a, b, c ∈, a z 0 (interpretare geometrică); poziția relativă a unei drepte față de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma - mx + n y, cu 2 ax + bx + c y a, b, c, m, n ∈ (interpretare geometrică)

Compunerea funcțiilor; funcție inversabilă: definiție

• Radicali de ordin 2 și 3: proprietăți; Funcția radical f: D o n 2,3, unde D > 0, +f pentru n par și D radicali de ordinul 2 sau 3 Funcția exponențială, f: o 0, +f, f x, f x n x, pentru n impar; ecuații ce conțin a x, $a\in\mathbb{R}$ 0, +f, a z 1; monotonie; ecuații exponențiale

Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, funcția logaritmică,

• f: 0, +f o, f x log a x, $a\in\mathbb{R}$ 0, +f, a z 1; monotonie; ecuații logaritmice Funcții trigonometrice directe și inverse: definire, proprietăți; ecuații trigonometrice

X.4. Numere complexe

• Numere complexe sub forma algebrică, conjugatul unui număr complex, modulul unui număr complex, operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică

Rezolvarea în

• a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; ecuații bipătrate

XI.1.Matrice și determinanți

• Matrice

Matrice; mulțimea matricelor cu elemente în

• ; operații cu matrice: adunarea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, înmulțirea; proprietăți ale operațiilor

Determinanți

• Determinantul unei matrice pătratice de ordin n d 4; metode de calcul și proprietăți fundamentale. Inversa unei matrice.

Aplicații ale determinanților în geometrie

• Coliniaritatea a trei puncte; calculul ariei unui triunghi; ecuația dreptei determinată de două puncte

Notă: Se vor aborda și aplicații ale matricelor în contexte practice (matricea de transport, matricea costurilor etc.).

XII.1. Sisteme de ecuații liniare

• Forma generală a unui sistem de ecuații liniare; clasificarea sistemelor de ecuații liniare în funcție de numărul de soluții; determinarea soluției unui sistem de ecuații liniare: metoda lui Cramer

Rangul unei matrice

• Studiul compatibilității unui sistem de ecuații liniare cu ajutorul noțiunii de rang

Reducerea unui sistem de ecuații liniare la un sistem de tip Cramer

Notă: Se vor studia sisteme de ecuații liniare cu cel mult 4 ecuații și cel mult 4 necunoscute.

Geometrie Trigonometrie

IX.5. Geometrie analitică

• Reper cartezian în plan; coordonatele carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan, coordonatele mijlocului unui segment

Panta unei drepte (ca raport)

• Ecuația dreptei care trece printr-un punct dat și are panta dată, ecuația dreptei care trece prin două puncte; intersecțiile dreptei cu axele de coordonate Pozițiile relative ale unei drepte față de axele de coordonate; pozițiile relative a două drepte

Ecuația cercului

IX.7. Elemente de trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie

• Cercul trigonometric: studiul funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul

S 3S ½

• 0, 2S @ - -, ¾; deducerea valorilor 2 ¿

S S S S

• 3S, 2S funcțiilor trigonometrice pentru valori particulare 0,,,,, S, 6 4 3 2

Formule trigonometrice

• de bază: sin 2 x + cos 2 x 1, sin S - x sin x, studiul funcției tangentă pe intervalul $[0,2\pi)$, sin S + x - sin x, cos S + x - cos x, cos 2S - x tg S + x tg x, tg S - x sin 2S - x ¯2 - sin x, cos S - x - cos x, (S · (S · - x, cos x, cos - - x, sin x, )2 ) )2 ) cos x, sin - - tg x

Notă: Toate formulele vor fi argumentate utilizând cercul trigonometric.

• Teorema cosinusului

Teorema sinusurilor

• Rezolvarea triunghiurilor oarecare

Aria triunghiului; ariile unor suprafețe poligonale

Notă: În aplicațiile trigonometriei în geometrie, valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele, ori cu mijloace digitale.

XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu

• Reperul cartezian tridimensional Oxyz; coordonatele unui punct în spațiu, distanța dintre două puncte în spațiu

Condiția de coplanaritate a 4 puncte

• Volumul tetraedrului Planul în reperul cartezian tridimensional Oxyz: ecuația generală a planului; ecuația planului determinat de trei puncte necoliniare Pozițiile relative ale două sau trei plane; interpretări geometrice ale sistemelor de ecuații liniare

Date, statistică matematică și

X.2. Statistică și probabilități

Statistică matematică (colectarea, organizarea, prelucrarea și interpretarea datelor statistice; sondaje)

Probabilități

Analiză matematică

XI.2. Limite de funcții și continuitate

• Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală Intervale de numere reale; mărginire; vecinătăți și noțiunea de dreaptă încheiată

Limite de funcții

• Interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct și prin intermediul vecinătăților; limite laterale; limită a unei funcții într-un punct și limită la infinit

Calculul limitelor

• Limitele funcțiilor studiate; studiul algebric și grafic al asimptotelor

Continuitate

• Interpretarea grafică a continuității unei funcții; studiul continuității într-un punct și pe intervale de pe dreapta reală, pentru funcțiile studiate

Operații cu funcții continue și proprietăți fundamentale ale continuității

• Semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale

Notă: Se pot utiliza mijloace digitale pentru vizualizarea geometrică a rezultatelor.

XI.3. Derivabilitate

• Derivata unei funcții și aplicații

Tangenta la o curbă și derivata unei funcții într-un punct; noțiunea de funcție

• derivabilă; operații cu funcții derivabile și reguli de derivare; derivatele de ordinul I și al doilea pentru funcțiile studiate; normala într-un punct la graficul unei funcții

XI.4. Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

• Monotonia funcțiilor: relația dintre semnul derivatei de ordinul I pe un interval și monotonia funcției Puncte de extrem: stabilirea naturii punctelor critice (staționare) cu ajutorul semnului derivatei de ordinul I

Convexitatea/concavitatea funcțiilor pe un interval: determinarea punctelor de

• inflexiune și recunoașterea naturii punctelor de extrem utilizând semnul derivatei de ordinul al doilea Tabelul de variație: sinteza proprietăților funcției; determinarea imaginii funcției pe un interval

Notă: Informațiile din tabelul de variație vor fi coroborate cu reprezentările grafice ale funcțiilor realizate prin mijloace digitale.

• Funcții bijective: definiție, studiul bijectivității unor funcții f: I o J, unde I și J sunt intervale

Teorema lui l’Hôspital (fără demonstrație)

• Aplicații în domenii conexe Modelarea proceselor fizice, chimice etc. (de exemplu, utilizarea derivatelor pentru a descrie viteza și accelerația într-un model cinematic) Probleme de optimizare; determinarea valorilor de extrem în contexte geometrice (de exemplu, optimizarea perimetrelor, ariilor și volumelor sub restricții date)

XII.3. Primitivele unei funcții continue

• Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue, integrala nedefinită a unei funcții continue

Tabelul primitivelor uzuale

• Proprietăți ale integralei nedefinite: liniaritate Ecuații diferențiale: ecuații cu variabile separabile; ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți

XII.4. Integrala definită

• Originea noțiunii de integrală definită ca arie a subgraficului unei funcții continue și pozitive definite pe un interval compact Estimări ale integralelor definite ale unor funcții continue și pozitive pornind de la reprezentările grafice ale acestora Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

Formula Leibniz-Newton

• Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți Aplicații ale integralei definite: aria delimitată de graficul unei funcții continue și axa Ox; aria suprafeței delimitate de două curbe; lungimea unei curbe; volumul unui corp de rotație; aria laterală a unui corp de rotație

Notă: Se vor studia volumul și aria unor corpuri obținute prin rotații în jurul axei Ox, de exemplu: sfera, cilindrul circular, conul.